За территорией садового участка росли деревья, но новая управлюящая их спилила, имела ли она право так поступать?

Нет, не имела. Земля - в общей собственности садоводов. Значит, деревья на ней - тоже в общей собственности. Распоряжение общей собственностью - только по решению общего собрания. Здесь председатель превысила свои полномочия. Вряд ли у нее было предписание государственных органов об удалении этих деревьев. И решения общего собрания по этим деревьям тоже не было. Что касается штрафа и прокурора, как здесь пишут, это нет, это только для территории населенных пунктов, там каждое дерево учитывается и охраняется. Для территории садоводств - другое, здесь не муниципальные земли.